Bài tập nguyên lí Dirichlet

Đây là các bài tập sử dụng nguyên lý Đi dép lê lộn Đi ric lê
Bài toán 1 :
Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng tồn tại ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 10.
Bài toán 2 :
Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 19941994…199400…0 chia hết cho 1995.
Bài toán 3 :
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho (1999^k – 1) chia hết cho104.
Bài toán 4 :
Chứng minh rằng tồn tại một số chỉ viết bởi hai chữ số chia hết cho 2003.
Bài toán 5 :
Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p ta có thể tìm được một số được viết bởi hai chữ số chia hết cho p.
Bài toán 6 :
Chứng minh rằng nếu một số tự nhiên không chia hết cho 2 và 5 thì tồn tại bội của nó có dạng : 111…1.
Bài toán 7 :
Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận cùng là 0001.
Bài toán 8 :
Chứng minh rằng nếu các số nguyên m và n nguyên tố cùng nhau thì tìm được số tự nhiên k sao cho mk – 1 chia hết cho n.
Bài toán 1:
Cho bảng vuông gồm n x n ô vuông. Mỗi ô vuông ghi một trong các số
0,1,2. CM: không tồn tại bảng vuông nào mà tổng các ô trên hàng ngang,
cột dọc và đường chéo là các số khác nhau hoàn toàn.
Bài toán 2:
Cho hình tròn diện tích S, lấy n điểm bất kỳ (n>2).CMR: có ba điểm
tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn S/k với k là số nguyên lớn nhất
nhỏ hơn (n-1)/2
Bài toán 3: Bên trong hình tròn bán kính 5 lấy 10 điểm bất kỳ. CM: tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 4.
Bài 4:
Cho 17 điểm trong mặt phẳng ,nối tất cả những điểm lại với nhau và tô
màu các đoạn thẳng đó bằng một trong 3 màu xanh,trắng, đen. CM: tồn tại
tam giác có 3 cạnh cùng màu.
Bài 5 : Cho một hình
vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai
tứ giác có tỉ số diện tích 2/3. CMR trong số 13 đường thẳng đó, có ít
nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Bài 6 :
Trong hình vuông cạnh 15 đặt 20 hình vuông nhỏ cạnh 1 từng đôi một
không cắt nhau. CMR trong hình vuông lớn có thể đặt một hình tròn bán
kính 1 sao cho nó không cắt một hình vuông nhỏ nào.
Bài 7 :
Cho một tờ giấy kẻ carô vô tận và một hình có diện tích nhỏ hơn diện
tích một ô giấy. CMR hình đó có thể đặt trên giấy để nó không che một
đỉnh ô nào.
Bài 8 : Trong hình vuông cạnh 1 đơn vị
chọn 101 điểm.Chứng minh rằng có 5 điểm trong các điểm đã chọn có thể
phủ bởi đường tròn bán kính bằng 1/7.
Mấy bài tập này là để cho các bạn ham thích học toán tự luyện.
Các bạn có thể tìm đọc cuốn sách "Tìm hiểu nguyên tắc Dirichle" mới phát hành của tác giả Vũ Hữu Bình


Nguồn: http://boxmath.vn/4rum/threads/6937-B%C3%A0i-t%E1%BA%ADp-nguy%C3%AAn-l%C3%AD-Dirichle?p=26233